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Theorem mgmhmlin

Description: A magma homomorphism preserves the binary operation. (Contributed by AV, 25-Feb-2020)

Ref Expression
Hypotheses mgmhmlin.b 
|- B = ( Base ` S )
mgmhmlin.p 
|- .+ = ( +g ` S )
mgmhmlin.q 
|- .+^ = ( +g ` T )
Assertion mgmhmlin 
|- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mgmhmlin.b 
 |-  B = ( Base ` S )
2 mgmhmlin.p 
 |-  .+ = ( +g ` S )
3 mgmhmlin.q 
 |-  .+^ = ( +g ` T )
4 eqid 
 |-  ( Base ` T ) = ( Base ` T )
5 1 4 2 3 ismgmhm 
 |-  ( F e. ( S MgmHom T ) <-> ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) /\ ( F : B --> ( Base ` T ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
6 fvoveq1 
 |-  ( x = X -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( X .+ y ) ) )
7 fveq2 
 |-  ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
8 7 oveq1d 
 |-  ( x = X -> ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` y ) ) )
9 6 8 eqeq12d 
 |-  ( x = X -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( X .+ y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
10 oveq2 
 |-  ( y = Y -> ( X .+ y ) = ( X .+ Y ) )
11 10 fveq2d 
 |-  ( y = Y -> ( F ` ( X .+ y ) ) = ( F ` ( X .+ Y ) ) )
12 fveq2 
 |-  ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
13 12 oveq2d 
 |-  ( y = Y -> ( ( F ` X ) .+^ ( F ` y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) )
14 11 13 eqeq12d 
 |-  ( y = Y -> ( ( F ` ( X .+ y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) ) )
15 9 14 rspc2v 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) ) )
16 15 com12 
 |-  ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) ) )
17 16 ad2antll 
 |-  ( ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) /\ ( F : B --> ( Base ` T ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) ) )
18 5 17 sylbi 
 |-  ( F e. ( S MgmHom T ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) ) )
19 18 3impib 
 |-  ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) )