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Theorem merco1lem18

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 . (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion merco1lem18 
|- ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ( ps -> ph ) -> F. ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ps ) ) -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) )
2 merco1lem17 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ( ( ps -> ph ) -> F. ) ) -> ( ( ps -> ch ) -> ps ) ) -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) )
3 1 2 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) )
4 merco1lem17 
 |-  ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) )
5 3 4 ax-mp 
 |-  ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) )
6 merco1lem5 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) -> F. ) -> ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) )
7 merco1lem3 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) -> F. ) -> ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) ) )
8 6 7 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) )
9 merco1lem5 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) ) )
10 8 9 ax-mp 
 |-  ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) )
11 merco1lem4 
 |-  ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) ) )
12 10 11 ax-mp 
 |-  ( ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) )
13 merco1 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ps -> ph ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) ) )
14 merco1lem2 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> ( ps -> ph ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) ) ) )
15 13 14 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) -> F. ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> F. ) ) -> F. ) -> F. ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) ) )
16 12 15 ax-mp 
 |-  ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) )
17 merco1lem9 
 |-  ( ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) )
18 16 17 ax-mp 
 |-  ( ( ( ps -> ph ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) ) )
19 5 18 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ( ps -> ch ) ) -> ( ( ps -> ph ) -> ( ps -> ch ) ) )