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Theorem mapssbi

Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021)

Ref Expression
Hypotheses mapssbi.a 
|- ( ph -> A e. V )
mapssbi.b 
|- ( ph -> B e. W )
mapssbi.c 
|- ( ph -> C e. Z )
mapssbi.n 
|- ( ph -> C =/= (/) )
Assertion mapssbi 
|- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapssbi.a 
 |-  ( ph -> A e. V )
2 mapssbi.b 
 |-  ( ph -> B e. W )
3 mapssbi.c 
 |-  ( ph -> C e. Z )
4 mapssbi.n 
 |-  ( ph -> C =/= (/) )
5 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ A C_ B ) -> B e. W )
6 simpr 
 |-  ( ( ph /\ A C_ B ) -> A C_ B )
7 mapss 
 |-  ( ( B e. W /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
8 5 6 7 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
9 8 ex 
 |-  ( ph -> ( A C_ B -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )
10 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ -. A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
11 nssrex 
 |-  ( -. A C_ B <-> E. x e. A -. x e. B )
12 11 biimpi 
 |-  ( -. A C_ B -> E. x e. A -. x e. B )
13 12 adantl 
 |-  ( ( ph /\ -. A C_ B ) -> E. x e. A -. x e. B )
14 fconst6g 
 |-  ( x e. A -> ( C X. { x } ) : C --> A )
15 14 adantl 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C X. { x } ) : C --> A )
16 elmapg 
 |-  ( ( A e. V /\ C e. Z ) -> ( ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) <-> ( C X. { x } ) : C --> A ) )
17 1 3 16 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) <-> ( C X. { x } ) : C --> A ) )
18 17 adantr 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) <-> ( C X. { x } ) : C --> A ) )
19 15 18 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) )
20 19 3adant3 
 |-  ( ( ph /\ x e. A /\ -. x e. B ) -> ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) )
21 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> C e. Z )
22 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> B e. W )
23 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> C =/= (/) )
24 simpr 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) )
25 21 22 23 24 snelmap 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> x e. B )
26 25 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ -. x e. B ) /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> x e. B )
27 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ -. x e. B ) /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> -. x e. B )
28 26 27 pm2.65da 
 |-  ( ( ph /\ -. x e. B ) -> -. ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) )
29 28 3adant2 
 |-  ( ( ph /\ x e. A /\ -. x e. B ) -> -. ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) )
30 nelss 
 |-  ( ( ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) /\ -. ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
31 20 29 30 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ x e. A /\ -. x e. B ) -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
32 31 3exp 
 |-  ( ph -> ( x e. A -> ( -. x e. B -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) ) )
33 32 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. A C_ B ) -> ( x e. A -> ( -. x e. B -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) ) )
34 33 rexlimdv 
 |-  ( ( ph /\ -. A C_ B ) -> ( E. x e. A -. x e. B -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )
35 13 34 mpd 
 |-  ( ( ph /\ -. A C_ B ) -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
36 35 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ -. A C_ B ) -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
37 10 36 condan 
 |-  ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) -> A C_ B )
38 37 ex 
 |-  ( ph -> ( ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) -> A C_ B ) )
39 9 38 impbid 
 |-  ( ph -> ( A C_ B <-> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )