This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem mapssbi

Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021)

Ref Expression
Hypotheses mapssbi.a 
|- ( ph -> A e. V )
mapssbi.b 
|- ( ph -> B e. W )
mapssbi.c 
|- ( ph -> C e. Z )
mapssbi.n 
|- ( ph -> C =/= (/) )
Assertion mapssbi 
|- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapssbi.a 
 |-  ( ph -> A e. V )
2 mapssbi.b 
 |-  ( ph -> B e. W )
3 mapssbi.c 
 |-  ( ph -> C e. Z )
4 mapssbi.n 
 |-  ( ph -> C =/= (/) )
5 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ A C_ B ) -> B e. W )
6 simpr 
 |-  ( ( ph /\ A C_ B ) -> A C_ B )
7 mapss 
 |-  ( ( B e. W /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
8 5 6 7 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
9 8 ex 
 |-  ( ph -> ( A C_ B -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )
10 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ -. A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
11 nssrex 
 |-  ( -. A C_ B <-> E. x e. A -. x e. B )
12 11 bilani 
 |-  ( ( ph /\ -. A C_ B ) -> E. x e. A -. x e. B )
13 fconst6g 
 |-  ( x e. A -> ( C X. { x } ) : C --> A )
14 13 adantl 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C X. { x } ) : C --> A )
15 elmapg 
 |-  ( ( A e. V /\ C e. Z ) -> ( ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) <-> ( C X. { x } ) : C --> A ) )
16 1 3 15 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) <-> ( C X. { x } ) : C --> A ) )
17 16 adantr 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) <-> ( C X. { x } ) : C --> A ) )
18 14 17 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) )
19 18 3adant3 
 |-  ( ( ph /\ x e. A /\ -. x e. B ) -> ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) )
20 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> C e. Z )
21 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> B e. W )
22 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> C =/= (/) )
23 simpr 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) )
24 20 21 22 23 snelmap 
 |-  ( ( ph /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> x e. B )
25 24 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ -. x e. B ) /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> x e. B )
26 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ -. x e. B ) /\ ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> -. x e. B )
27 25 26 pm2.65da 
 |-  ( ( ph /\ -. x e. B ) -> -. ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) )
28 27 3adant2 
 |-  ( ( ph /\ x e. A /\ -. x e. B ) -> -. ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) )
29 nelss 
 |-  ( ( ( C X. { x } ) e. ( A ^m C ) /\ -. ( C X. { x } ) e. ( B ^m C ) ) -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
30 19 28 29 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ x e. A /\ -. x e. B ) -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
31 30 3exp 
 |-  ( ph -> ( x e. A -> ( -. x e. B -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) ) )
32 31 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. A C_ B ) -> ( x e. A -> ( -. x e. B -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) ) )
33 32 rexlimdv 
 |-  ( ( ph /\ -. A C_ B ) -> ( E. x e. A -. x e. B -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )
34 12 33 mpd 
 |-  ( ( ph /\ -. A C_ B ) -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
35 34 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) /\ -. A C_ B ) -> -. ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
36 10 35 condan 
 |-  ( ( ph /\ ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) -> A C_ B )
37 36 ex 
 |-  ( ph -> ( ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) -> A C_ B ) )
38 9 37 impbid 
 |-  ( ph -> ( A C_ B <-> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) ) )