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Theorem liminfreuz

Description: Given a function on the reals, its inferior limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is greater than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is smaller than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022)

Ref Expression
Hypotheses liminfreuz.1 
|- F/_ j F
liminfreuz.2 
|- ( ph -> M e. ZZ )
liminfreuz.3 
|- Z = ( ZZ>= ` M )
liminfreuz.4 
|- ( ph -> F : Z --> RR )
Assertion liminfreuz 
|- ( ph -> ( ( liminf ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 liminfreuz.1 
 |-  F/_ j F
2 liminfreuz.2 
 |-  ( ph -> M e. ZZ )
3 liminfreuz.3 
 |-  Z = ( ZZ>= ` M )
4 liminfreuz.4 
 |-  ( ph -> F : Z --> RR )
5 nfcv 
 |-  F/_ l F
6 5 2 3 4 liminfreuzlem 
 |-  ( ph -> ( ( liminf ` F ) e. RR <-> ( E. y e. RR A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y /\ E. y e. RR A. l e. Z y <_ ( F ` l ) ) ) )
7 breq2 
 |-  ( y = x -> ( ( F ` l ) <_ y <-> ( F ` l ) <_ x ) )
8 7 rexbidv 
 |-  ( y = x -> ( E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x ) )
9 8 ralbidv 
 |-  ( y = x -> ( A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x ) )
10 fveq2 
 |-  ( i = k -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` k ) )
11 10 rexeqdv 
 |-  ( i = k -> ( E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> E. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x ) )
12 nfcv 
 |-  F/_ j l
13 1 12 nffv 
 |-  F/_ j ( F ` l )
14 nfcv 
 |-  F/_ j <_
15 nfcv 
 |-  F/_ j x
16 13 14 15 nfbr 
 |-  F/ j ( F ` l ) <_ x
17 nfv 
 |-  F/ l ( F ` j ) <_ x
18 fveq2 
 |-  ( l = j -> ( F ` l ) = ( F ` j ) )
19 18 breq1d 
 |-  ( l = j -> ( ( F ` l ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) )
20 16 17 19 cbvrexw 
 |-  ( E. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
21 20 a1i 
 |-  ( i = k -> ( E. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
22 11 21 bitrd 
 |-  ( i = k -> ( E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
23 22 cbvralvw 
 |-  ( A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
24 23 a1i 
 |-  ( y = x -> ( A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
25 9 24 bitrd 
 |-  ( y = x -> ( A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
26 25 cbvrexvw 
 |-  ( E. y e. RR A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
27 breq1 
 |-  ( y = x -> ( y <_ ( F ` l ) <-> x <_ ( F ` l ) ) )
28 27 ralbidv 
 |-  ( y = x -> ( A. l e. Z y <_ ( F ` l ) <-> A. l e. Z x <_ ( F ` l ) ) )
29 15 14 13 nfbr 
 |-  F/ j x <_ ( F ` l )
30 nfv 
 |-  F/ l x <_ ( F ` j )
31 18 breq2d 
 |-  ( l = j -> ( x <_ ( F ` l ) <-> x <_ ( F ` j ) ) )
32 29 30 31 cbvralw 
 |-  ( A. l e. Z x <_ ( F ` l ) <-> A. j e. Z x <_ ( F ` j ) )
33 32 a1i 
 |-  ( y = x -> ( A. l e. Z x <_ ( F ` l ) <-> A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) )
34 28 33 bitrd 
 |-  ( y = x -> ( A. l e. Z y <_ ( F ` l ) <-> A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) )
35 34 cbvrexvw 
 |-  ( E. y e. RR A. l e. Z y <_ ( F ` l ) <-> E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) )
36 26 35 anbi12i 
 |-  ( ( E. y e. RR A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y /\ E. y e. RR A. l e. Z y <_ ( F ` l ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) )
37 36 a1i 
 |-  ( ph -> ( ( E. y e. RR A. i e. Z E. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y /\ E. y e. RR A. l e. Z y <_ ( F ` l ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) ) )
38 6 37 bitrd 
 |-  ( ph -> ( ( liminf ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ E. x e. RR A. j e. Z x <_ ( F ` j ) ) ) )