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Theorem iunxiun

Description: Separate an indexed union in the index of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2016)

Ref Expression
Assertion iunxiun 
|- U_ x e. U_ y e. A B C = U_ y e. A U_ x e. B C

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eliun 
 |-  ( x e. U_ y e. A B <-> E. y e. A x e. B )
2 1 anbi1i 
 |-  ( ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> ( E. y e. A x e. B /\ z e. C ) )
3 r19.41v 
 |-  ( E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) <-> ( E. y e. A x e. B /\ z e. C ) )
4 2 3 bitr4i 
 |-  ( ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
5 4 exbii 
 |-  ( E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. x E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
6 rexcom4 
 |-  ( E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) <-> E. x E. y e. A ( x e. B /\ z e. C ) )
7 5 6 bitr4i 
 |-  ( E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) <-> E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
8 df-rex 
 |-  ( E. x e. U_ y e. A B z e. C <-> E. x ( x e. U_ y e. A B /\ z e. C ) )
9 eliun 
 |-  ( z e. U_ x e. B C <-> E. x e. B z e. C )
10 df-rex 
 |-  ( E. x e. B z e. C <-> E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
11 9 10 bitri 
 |-  ( z e. U_ x e. B C <-> E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
12 11 rexbii 
 |-  ( E. y e. A z e. U_ x e. B C <-> E. y e. A E. x ( x e. B /\ z e. C ) )
13 7 8 12 3bitr4i 
 |-  ( E. x e. U_ y e. A B z e. C <-> E. y e. A z e. U_ x e. B C )
14 eliun 
 |-  ( z e. U_ x e. U_ y e. A B C <-> E. x e. U_ y e. A B z e. C )
15 eliun 
 |-  ( z e. U_ y e. A U_ x e. B C <-> E. y e. A z e. U_ x e. B C )
16 13 14 15 3bitr4i 
 |-  ( z e. U_ x e. U_ y e. A B C <-> z e. U_ y e. A U_ x e. B C )
17 16 eqriv 
 |-  U_ x e. U_ y e. A B C = U_ y e. A U_ x e. B C