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Metamath Proof Explorer

Theorem iunssfOLD

Description: Obsolete version of iunssf as of 2-Feb-2026. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis iunssf.1 
|- F/_ x C
Assertion iunssfOLD 
|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iunssf.1 
 |-  F/_ x C
2 df-iun 
 |-  U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
3 2 sseq1i 
 |-  ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
4 abss 
 |-  ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
5 df-ss 
 |-  ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6 5 ralbii 
 |-  ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
7 ralcom4 
 |-  ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
8 1 nfcri 
 |-  F/ x y e. C
9 8 r19.23 
 |-  ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
10 9 albii 
 |-  ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
11 6 7 10 3bitrri 
 |-  ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
12 3 4 11 3bitri 
 |-  ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )