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Theorem iunssf

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021) Avoid ax-10 . (Revised by SN, 2-Feb-2026)

Ref Expression
Hypothesis iunssf.1 
|- F/_ x C
Assertion iunssf 
|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iunssf.1 
 |-  F/_ x C
2 df-ss 
 |-  ( U_ x e. A B C_ C <-> A. y ( y e. U_ x e. A B -> y e. C ) )
3 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
4 3 imbi1i 
 |-  ( ( y e. U_ x e. A B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
5 4 albii 
 |-  ( A. y ( y e. U_ x e. A B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
6 df-ss 
 |-  ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
7 6 ralbii 
 |-  ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
8 ralcom4 
 |-  ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
9 1 nfcri 
 |-  F/ x y e. C
10 9 r19.23 
 |-  ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
11 10 albii 
 |-  ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
12 7 8 11 3bitrri 
 |-  ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
13 2 5 12 3bitri 
 |-  ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )