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Theorem iunin2

Description: Indexed union of intersection. Generalization of half of theorem "Distributive laws" in Enderton p. 30. Use uniiun to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 26-Mar-2004)

Ref Expression
Assertion iunin2 
|- U_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i U_ x e. A C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 r19.42v 
 |-  ( E. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A y e. C ) )
2 elin 
 |-  ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
3 2 rexbii 
 |-  ( E. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) )
4 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
5 4 anbi2i 
 |-  ( ( y e. B /\ y e. U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A y e. C ) )
6 1 3 5 3bitr4i 
 |-  ( E. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. U_ x e. A C ) )
7 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A ( B i^i C ) <-> E. x e. A y e. ( B i^i C ) )
8 elin 
 |-  ( y e. ( B i^i U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ y e. U_ x e. A C ) )
9 6 7 8 3bitr4i 
 |-  ( y e. U_ x e. A ( B i^i C ) <-> y e. ( B i^i U_ x e. A C ) )
10 9 eqriv 
 |-  U_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i U_ x e. A C )