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Theorem isoeq3

Description: Equality theorem for isomorphisms. (Contributed by NM, 17-May-2004)

Ref Expression
Assertion isoeq3 
|- ( S = T -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , T ( A , B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 breq 
 |-  ( S = T -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) )
2 1 bibi2d 
 |-  ( S = T -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) ) )
3 2 2ralbidv 
 |-  ( S = T -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) ) )
4 3 anbi2d 
 |-  ( S = T -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) ) ) )
5 df-isom 
 |-  ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
6 df-isom 
 |-  ( H Isom R , T ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) T ( H ` y ) ) ) )
7 4 5 6 3bitr4g 
 |-  ( S = T -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom R , T ( A , B ) ) )