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Theorem isoeq1

Description: Equality theorem for isomorphisms. (Contributed by NM, 17-May-2004)

Ref Expression
Assertion isoeq1 
|- ( H = G -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> G Isom R , S ( A , B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 f1oeq1 
 |-  ( H = G -> ( H : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )
2 fveq1 
 |-  ( H = G -> ( H ` x ) = ( G ` x ) )
3 fveq1 
 |-  ( H = G -> ( H ` y ) = ( G ` y ) )
4 2 3 breq12d 
 |-  ( H = G -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) )
5 4 bibi2d 
 |-  ( H = G -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x R y <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) ) )
6 5 2ralbidv 
 |-  ( H = G -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) ) )
7 1 6 anbi12d 
 |-  ( H = G -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( G : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) ) ) )
8 df-isom 
 |-  ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
9 df-isom 
 |-  ( G Isom R , S ( A , B ) <-> ( G : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( G ` x ) S ( G ` y ) ) ) )
10 7 8 9 3bitr4g 
 |-  ( H = G -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> G Isom R , S ( A , B ) ) )