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Theorem ismhm0

Description: Property of a monoid homomorphism, expressed by a magma homomorphism. (Contributed by AV, 17-Apr-2020)

Ref Expression
Hypotheses ismhm0.b 
|- B = ( Base ` S )
ismhm0.c 
|- C = ( Base ` T )
ismhm0.p 
|- .+ = ( +g ` S )
ismhm0.q 
|- .+^ = ( +g ` T )
ismhm0.z 
|- .0. = ( 0g ` S )
ismhm0.y 
|- Y = ( 0g ` T )
Assertion ismhm0 
|- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F e. ( S MgmHom T ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ismhm0.b 
 |-  B = ( Base ` S )
2 ismhm0.c 
 |-  C = ( Base ` T )
3 ismhm0.p 
 |-  .+ = ( +g ` S )
4 ismhm0.q 
 |-  .+^ = ( +g ` T )
5 ismhm0.z 
 |-  .0. = ( 0g ` S )
6 ismhm0.y 
 |-  Y = ( 0g ` T )
7 1 2 3 4 5 6 ismhm 
 |-  ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
8 df-3an 
 |-  ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) <-> ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) )
9 mndmgm 
 |-  ( S e. Mnd -> S e. Mgm )
10 mndmgm 
 |-  ( T e. Mnd -> T e. Mgm )
11 9 10 anim12i 
 |-  ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) )
12 11 biantrurd 
 |-  ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) <-> ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) ) )
13 1 2 3 4 ismgmhm 
 |-  ( F e. ( S MgmHom T ) <-> ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
14 12 13 bitr4di 
 |-  ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) <-> F e. ( S MgmHom T ) ) )
15 14 anbi1d 
 |-  ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) <-> ( F e. ( S MgmHom T ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
16 8 15 bitrid 
 |-  ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) <-> ( F e. ( S MgmHom T ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
17 16 pm5.32i 
 |-  ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F e. ( S MgmHom T ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
18 7 17 bitri 
 |-  ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F e. ( S MgmHom T ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )