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Theorem isfth2

Description: Equivalent condition for a faithful functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017)

Ref Expression
Hypotheses isfth.b 
|- B = ( Base ` C )
isfth.h 
|- H = ( Hom ` C )
isfth.j 
|- J = ( Hom ` D )
Assertion isfth2 
|- ( F ( C Faith D ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isfth.b 
 |-  B = ( Base ` C )
2 isfth.h 
 |-  H = ( Hom ` C )
3 isfth.j 
 |-  J = ( Hom ` D )
4 1 isfth 
 |-  ( F ( C Faith D ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) )
5 simpll 
 |-  ( ( ( F ( C Func D ) G /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> F ( C Func D ) G )
6 simplr 
 |-  ( ( ( F ( C Func D ) G /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> x e. B )
7 simpr 
 |-  ( ( ( F ( C Func D ) G /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> y e. B )
8 1 2 3 5 6 7 funcf2 
 |-  ( ( ( F ( C Func D ) G /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) )
9 df-f1 
 |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ Fun `' ( x G y ) ) )
10 9 baib 
 |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) -> ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> Fun `' ( x G y ) ) )
11 8 10 syl 
 |-  ( ( ( F ( C Func D ) G /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> Fun `' ( x G y ) ) )
12 11 ralbidva 
 |-  ( ( F ( C Func D ) G /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) )
13 12 ralbidva 
 |-  ( F ( C Func D ) G -> ( A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) )
14 13 pm5.32i 
 |-  ( ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B Fun `' ( x G y ) ) )
15 4 14 bitr4i 
 |-  ( F ( C Faith D ) G <-> ( F ( C Func D ) G /\ A. x e. B A. y e. B ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) )