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Theorem isacn

Description: The property of being a choice set of length A . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion isacn 
|- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC_ A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pweq 
 |-  ( y = X -> ~P y = ~P X )
2 1 difeq1d 
 |-  ( y = X -> ( ~P y \ { (/) } ) = ( ~P X \ { (/) } ) )
3 2 oveq1d 
 |-  ( y = X -> ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) = ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) )
4 3 raleqdv 
 |-  ( y = X -> ( A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
5 4 anbi2d 
 |-  ( y = X -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
6 df-acn 
 |-  AC_ A = { y | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) }
7 5 6 elab2g 
 |-  ( X e. V -> ( X e. AC_ A <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
8 elex 
 |-  ( A e. W -> A e. _V )
9 biid 
 |-  ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
10 9 baib 
 |-  ( A e. _V -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
11 8 10 syl 
 |-  ( A e. W -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
12 7 11 sylan9bb 
 |-  ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC_ A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )