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Metamath Proof Explorer

Theorem ipodrsfi

Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015)

Ref Expression
Assertion ipodrsfi 
|- ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> E. z e. A U. X C_ z )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp2 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> X C_ A )
2 ipodrscl 
 |-  ( ( toInc ` A ) e. Dirset -> A e. _V )
3 eqid 
 |-  ( toInc ` A ) = ( toInc ` A )
4 3 ipobas 
 |-  ( A e. _V -> A = ( Base ` ( toInc ` A ) ) )
5 2 4 syl 
 |-  ( ( toInc ` A ) e. Dirset -> A = ( Base ` ( toInc ` A ) ) )
6 5 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> A = ( Base ` ( toInc ` A ) ) )
7 1 6 sseqtrd 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> X C_ ( Base ` ( toInc ` A ) ) )
8 eqid 
 |-  ( Base ` ( toInc ` A ) ) = ( Base ` ( toInc ` A ) )
9 eqid 
 |-  ( le ` ( toInc ` A ) ) = ( le ` ( toInc ` A ) )
10 8 9 drsdirfi 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ ( Base ` ( toInc ` A ) ) /\ X e. Fin ) -> E. z e. ( Base ` ( toInc ` A ) ) A. w e. X w ( le ` ( toInc ` A ) ) z )
11 7 10 syld3an2 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> E. z e. ( Base ` ( toInc ` A ) ) A. w e. X w ( le ` ( toInc ` A ) ) z )
12 6 rexeqdv 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> ( E. z e. A A. w e. X w ( le ` ( toInc ` A ) ) z <-> E. z e. ( Base ` ( toInc ` A ) ) A. w e. X w ( le ` ( toInc ` A ) ) z ) )
13 2 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> A e. _V )
14 13 adantr 
 |-  ( ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) /\ ( z e. A /\ w e. X ) ) -> A e. _V )
15 1 sselda 
 |-  ( ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) /\ w e. X ) -> w e. A )
16 15 adantrl 
 |-  ( ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) /\ ( z e. A /\ w e. X ) ) -> w e. A )
17 simprl 
 |-  ( ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) /\ ( z e. A /\ w e. X ) ) -> z e. A )
18 3 9 ipole 
 |-  ( ( A e. _V /\ w e. A /\ z e. A ) -> ( w ( le ` ( toInc ` A ) ) z <-> w C_ z ) )
19 14 16 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) /\ ( z e. A /\ w e. X ) ) -> ( w ( le ` ( toInc ` A ) ) z <-> w C_ z ) )
20 19 anassrs 
 |-  ( ( ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) /\ z e. A ) /\ w e. X ) -> ( w ( le ` ( toInc ` A ) ) z <-> w C_ z ) )
21 20 ralbidva 
 |-  ( ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) /\ z e. A ) -> ( A. w e. X w ( le ` ( toInc ` A ) ) z <-> A. w e. X w C_ z ) )
22 unissb 
 |-  ( U. X C_ z <-> A. w e. X w C_ z )
23 21 22 bitr4di 
 |-  ( ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) /\ z e. A ) -> ( A. w e. X w ( le ` ( toInc ` A ) ) z <-> U. X C_ z ) )
24 23 rexbidva 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> ( E. z e. A A. w e. X w ( le ` ( toInc ` A ) ) z <-> E. z e. A U. X C_ z ) )
25 12 24 bitr3d 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> ( E. z e. ( Base ` ( toInc ` A ) ) A. w e. X w ( le ` ( toInc ` A ) ) z <-> E. z e. A U. X C_ z ) )
26 11 25 mpbid 
 |-  ( ( ( toInc ` A ) e. Dirset /\ X C_ A /\ X e. Fin ) -> E. z e. A U. X C_ z )