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Theorem inxpss3

Description: Two ways to say that an intersection with a Cartesian product is a subclass (see also inxpss ). (Contributed by Peter Mazsa, 8-Mar-2019)

Ref Expression
Assertion inxpss3 
|- ( A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 brinxp2 
 |-  ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) )
2 brinxp2 
 |-  ( x ( S i^i ( A X. B ) ) y <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x S y ) )
3 1 2 imbi12i 
 |-  ( ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x S y ) ) )
4 imdistan 
 |-  ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x S y ) ) )
5 3 4 bitr4i 
 |-  ( ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
6 5 2albii 
 |-  ( A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
7 r2al 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
8 6 7 bitr4i 
 |-  ( A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) )