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Theorem inxpss

Description: Two ways to say that an intersection with a Cartesian product is a subclass. (Contributed by Peter Mazsa, 16-Jul-2019)

Ref Expression
Assertion inxpss 
|- ( ( R i^i ( A X. B ) ) C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 brinxp2 
 |-  ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) )
2 1 imbi1i 
 |-  ( ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) -> x S y ) )
3 impexp 
 |-  ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) -> x S y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
4 2 3 bitri 
 |-  ( ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
5 4 2albii 
 |-  ( A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
6 relinxp 
 |-  Rel ( R i^i ( A X. B ) )
7 ssrel3 
 |-  ( Rel ( R i^i ( A X. B ) ) -> ( ( R i^i ( A X. B ) ) C_ S <-> A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) ) )
8 6 7 ax-mp 
 |-  ( ( R i^i ( A X. B ) ) C_ S <-> A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) )
9 r2al 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
10 5 8 9 3bitr4i 
 |-  ( ( R i^i ( A X. B ) ) C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) )