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Theorem intun

Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of Suppes p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002)

Ref Expression
Assertion intun 
|- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 19.26 
 |-  ( A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
2 elunant 
 |-  ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
3 2 albii 
 |-  ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
4 vex 
 |-  x e. _V
5 4 elint 
 |-  ( x e. |^| A <-> A. y ( y e. A -> x e. y ) )
6 4 elint 
 |-  ( x e. |^| B <-> A. y ( y e. B -> x e. y ) )
7 5 6 anbi12i 
 |-  ( ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
8 1 3 7 3bitr4i 
 |-  ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
9 4 elint 
 |-  ( x e. |^| ( A u. B ) <-> A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) )
10 elin 
 |-  ( x e. ( |^| A i^i |^| B ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
11 8 9 10 3bitr4i 
 |-  ( x e. |^| ( A u. B ) <-> x e. ( |^| A i^i |^| B ) )
12 11 eqriv 
 |-  |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )