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Theorem iinun2

Description: Indexed intersection of union. Generalization of half of theorem "Distributive laws" in Enderton p. 30. Use intiin to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 19-Aug-2004)

Ref Expression
Assertion iinun2 
|- |^|_ x e. A ( B u. C ) = ( B u. |^|_ x e. A C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 r19.32v 
 |-  ( A. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) <-> ( y e. B \/ A. x e. A y e. C ) )
2 elun 
 |-  ( y e. ( B u. C ) <-> ( y e. B \/ y e. C ) )
3 2 ralbii 
 |-  ( A. x e. A y e. ( B u. C ) <-> A. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) )
4 eliin 
 |-  ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
5 4 elv 
 |-  ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
6 5 orbi2i 
 |-  ( ( y e. B \/ y e. |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B \/ A. x e. A y e. C ) )
7 1 3 6 3bitr4i 
 |-  ( A. x e. A y e. ( B u. C ) <-> ( y e. B \/ y e. |^|_ x e. A C ) )
8 eliin 
 |-  ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B u. C ) <-> A. x e. A y e. ( B u. C ) ) )
9 8 elv 
 |-  ( y e. |^|_ x e. A ( B u. C ) <-> A. x e. A y e. ( B u. C ) )
10 elun 
 |-  ( y e. ( B u. |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B \/ y e. |^|_ x e. A C ) )
11 7 9 10 3bitr4i 
 |-  ( y e. |^|_ x e. A ( B u. C ) <-> y e. ( B u. |^|_ x e. A C ) )
12 11 eqriv 
 |-  |^|_ x e. A ( B u. C ) = ( B u. |^|_ x e. A C )