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Theorem hocsubdir

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 23-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion hocsubdir 
|- ( ( R : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) -> ( ( R -op S ) o. T ) = ( ( R o. T ) -op ( S o. T ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oveq1 
 |-  ( R = if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -> ( R -op S ) = ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op S ) )
2 1 coeq1d 
 |-  ( R = if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -> ( ( R -op S ) o. T ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op S ) o. T ) )
3 coeq1 
 |-  ( R = if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -> ( R o. T ) = ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) )
4 3 oveq1d 
 |-  ( R = if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -> ( ( R o. T ) -op ( S o. T ) ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) -op ( S o. T ) ) )
5 2 4 eqeq12d 
 |-  ( R = if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -> ( ( ( R -op S ) o. T ) = ( ( R o. T ) -op ( S o. T ) ) <-> ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op S ) o. T ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) -op ( S o. T ) ) ) )
6 oveq2 
 |-  ( S = if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) -> ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op S ) = ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) ) )
7 6 coeq1d 
 |-  ( S = if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) -> ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op S ) o. T ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) ) o. T ) )
8 coeq1 
 |-  ( S = if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) -> ( S o. T ) = ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. T ) )
9 8 oveq2d 
 |-  ( S = if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) -> ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) -op ( S o. T ) ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) -op ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. T ) ) )
10 7 9 eqeq12d 
 |-  ( S = if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) -> ( ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op S ) o. T ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) -op ( S o. T ) ) <-> ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) ) o. T ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) -op ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. T ) ) ) )
11 coeq2 
 |-  ( T = if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) -> ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) ) o. T ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) )
12 coeq2 
 |-  ( T = if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) -> ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) = ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) )
13 coeq2 
 |-  ( T = if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) -> ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. T ) = ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) )
14 12 13 oveq12d 
 |-  ( T = if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) -> ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) -op ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. T ) ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) -op ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) ) )
15 11 14 eqeq12d 
 |-  ( T = if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) -> ( ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) ) o. T ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. T ) -op ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. T ) ) <-> ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) -op ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) ) ) )
16 ho0f 
 |-  0hop : ~H --> ~H
17 16 elimf 
 |-  if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) : ~H --> ~H
18 16 elimf 
 |-  if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) : ~H --> ~H
19 16 elimf 
 |-  if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) : ~H --> ~H
20 17 18 19 hocsubdiri 
 |-  ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) -op if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) = ( ( if ( R : ~H --> ~H , R , 0hop ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) -op ( if ( S : ~H --> ~H , S , 0hop ) o. if ( T : ~H --> ~H , T , 0hop ) ) )
21 5 10 15 20 dedth3h 
 |-  ( ( R : ~H --> ~H /\ S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) -> ( ( R -op S ) o. T ) = ( ( R o. T ) -op ( S o. T ) ) )