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Theorem grpnnncan2

Description: Cancellation law for group subtraction. ( nnncan2 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses grpnnncan2.b 
|- B = ( Base ` G )
grpnnncan2.m 
|- .- = ( -g ` G )
Assertion grpnnncan2 
|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grpnnncan2.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 grpnnncan2.m 
 |-  .- = ( -g ` G )
3 simpl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
4 simpr1 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
5 simpr3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
6 1 2 grpsubcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) e. B )
7 6 3adant3r1 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .- Z ) e. B )
8 eqid 
 |-  ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9 1 8 2 grpsubsub4 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .- Z ) e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
10 3 4 5 7 9 syl13anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) )
11 1 8 2 grpnpcan 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
12 11 3adant3r1 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) = Y )
13 12 oveq2d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( ( Y .- Z ) ( +g ` G ) Z ) ) = ( X .- Y ) )
14 10 13 eqtrd 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .- ( Y .- Z ) ) = ( X .- Y ) )