This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem fzoun

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022)

Ref Expression
Assertion fzoun 
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A ..^ ( B + C ) ) = ( ( A ..^ B ) u. ( B ..^ ( B + C ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eluzel2 
 |-  ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
2 1 adantr 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A e. ZZ )
3 eluzelz 
 |-  ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
4 nn0z 
 |-  ( C e. NN0 -> C e. ZZ )
5 zaddcl 
 |-  ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B + C ) e. ZZ )
6 3 4 5 syl2an 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( B + C ) e. ZZ )
7 3 adantr 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ZZ )
8 eluzle 
 |-  ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A <_ B )
9 8 adantr 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A <_ B )
10 nn0ge0 
 |-  ( C e. NN0 -> 0 <_ C )
11 10 adantl 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> 0 <_ C )
12 eluzelre 
 |-  ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. RR )
13 nn0re 
 |-  ( C e. NN0 -> C e. RR )
14 addge01 
 |-  ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
15 12 13 14 syl2an 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
16 11 15 mpbid 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B <_ ( B + C ) )
17 2 6 7 9 16 elfzd 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ( A ... ( B + C ) ) )
18 fzosplit 
 |-  ( B e. ( A ... ( B + C ) ) -> ( A ..^ ( B + C ) ) = ( ( A ..^ B ) u. ( B ..^ ( B + C ) ) ) )
19 17 18 syl 
 |-  ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A ..^ ( B + C ) ) = ( ( A ..^ B ) u. ( B ..^ ( B + C ) ) ) )