| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
elfzoelz |
|- ( B e. ( C ..^ D ) -> B e. ZZ ) |
| 2 |
1
|
adantl |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> B e. ZZ ) |
| 3 |
|
elfzoelz |
|- ( A e. ( C ..^ D ) -> A e. ZZ ) |
| 4 |
3
|
adantr |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> A e. ZZ ) |
| 5 |
2 4
|
zsubcld |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( B - A ) e. ZZ ) |
| 6 |
5
|
zred |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( B - A ) e. RR ) |
| 7 |
2
|
zred |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> B e. RR ) |
| 8 |
4
|
zred |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> A e. RR ) |
| 9 |
7 8
|
subge0d |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) ) |
| 10 |
9
|
biimpar |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ ( B - A ) ) |
| 11 |
|
absid |
|- ( ( ( B - A ) e. RR /\ 0 <_ ( B - A ) ) -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( B - A ) ) |
| 12 |
6 10 11
|
syl2an2r |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( B - A ) ) |
| 13 |
|
elfzoel1 |
|- ( B e. ( C ..^ D ) -> C e. ZZ ) |
| 14 |
13
|
adantl |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> C e. ZZ ) |
| 15 |
14
|
zred |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> C e. RR ) |
| 16 |
7 15
|
resubcld |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( B - C ) e. RR ) |
| 17 |
|
elfzoel2 |
|- ( B e. ( C ..^ D ) -> D e. ZZ ) |
| 18 |
17
|
adantl |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> D e. ZZ ) |
| 19 |
18 14
|
zsubcld |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( D - C ) e. ZZ ) |
| 20 |
19
|
zred |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( D - C ) e. RR ) |
| 21 |
|
elfzole1 |
|- ( A e. ( C ..^ D ) -> C <_ A ) |
| 22 |
21
|
adantr |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> C <_ A ) |
| 23 |
15 8 7 22
|
lesub2dd |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( B - A ) <_ ( B - C ) ) |
| 24 |
18
|
zred |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> D e. RR ) |
| 25 |
|
elfzolt2 |
|- ( B e. ( C ..^ D ) -> B < D ) |
| 26 |
25
|
adantl |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> B < D ) |
| 27 |
7 24 15 26
|
ltsub1dd |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( B - C ) < ( D - C ) ) |
| 28 |
6 16 20 23 27
|
lelttrd |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( B - A ) < ( D - C ) ) |
| 29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) < ( D - C ) ) |
| 30 |
|
0zd |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> 0 e. ZZ ) |
| 31 |
|
elfzo |
|- ( ( ( B - A ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( D - C ) e. ZZ ) -> ( ( B - A ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) ) |
| 32 |
5 30 19 31
|
syl3anc |
|- ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) -> ( ( B - A ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) ) |
| 33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( ( B - A ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) ) |
| 34 |
10 29 33
|
mpbir2and |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) ) |
| 35 |
12 34
|
eqeltrd |
|- ( ( ( A e. ( C ..^ D ) /\ B e. ( C ..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. ( 0 ..^ ( D - C ) ) ) |