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Theorem fznn0

Description: Characterization of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2005)

Ref Expression
Assertion fznn0 
|- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 0z 
 |-  0 e. ZZ
2 nn0z 
 |-  ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
3 elfz1 
 |-  ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) )
4 1 2 3 sylancr 
 |-  ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) ) )
5 df-3an 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) )
6 elnn0z 
 |-  ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
7 6 anbi1i 
 |-  ( ( K e. NN0 /\ K <_ N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ K <_ N ) )
8 5 7 bitr4i 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. NN0 /\ K <_ N ) )
9 4 8 bitrdi 
 |-  ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ K <_ N ) ) )