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Metamath Proof Explorer

Theorem fovcld

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Feb-2017)

Ref Expression
Hypothesis fovcld.1 
|- ( ph -> F : ( R X. S ) --> C )
Assertion fovcld 
|- ( ( ph /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fovcld.1 
 |-  ( ph -> F : ( R X. S ) --> C )
2 3simpc 
 |-  ( ( ph /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A e. R /\ B e. S ) )
3 ffnov 
 |-  ( F : ( R X. S ) --> C <-> ( F Fn ( R X. S ) /\ A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C ) )
4 3 simprbi 
 |-  ( F : ( R X. S ) --> C -> A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C )
5 1 4 syl 
 |-  ( ph -> A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C )
6 5 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ A e. R /\ B e. S ) -> A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C )
7 oveq1 
 |-  ( x = A -> ( x F y ) = ( A F y ) )
8 7 eleq1d 
 |-  ( x = A -> ( ( x F y ) e. C <-> ( A F y ) e. C ) )
9 oveq2 
 |-  ( y = B -> ( A F y ) = ( A F B ) )
10 9 eleq1d 
 |-  ( y = B -> ( ( A F y ) e. C <-> ( A F B ) e. C ) )
11 8 10 rspc2v 
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C -> ( A F B ) e. C ) )
12 2 6 11 sylc 
 |-  ( ( ph /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )