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Theorem flval2

Description: An alternate way to define the floor function. (Contributed by NM, 16-Nov-2004)

Ref Expression
Assertion flval2 
|- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 flle 
 |-  ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
2 flge 
 |-  ( ( A e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( y <_ A <-> y <_ ( |_ ` A ) ) )
3 2 biimpd 
 |-  ( ( A e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( y <_ A -> y <_ ( |_ ` A ) ) )
4 3 ralrimiva 
 |-  ( A e. RR -> A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ ( |_ ` A ) ) )
5 flcl 
 |-  ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
6 zmax 
 |-  ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) )
7 breq1 
 |-  ( x = ( |_ ` A ) -> ( x <_ A <-> ( |_ ` A ) <_ A ) )
8 breq2 
 |-  ( x = ( |_ ` A ) -> ( y <_ x <-> y <_ ( |_ ` A ) ) )
9 8 imbi2d 
 |-  ( x = ( |_ ` A ) -> ( ( y <_ A -> y <_ x ) <-> ( y <_ A -> y <_ ( |_ ` A ) ) ) )
10 9 ralbidv 
 |-  ( x = ( |_ ` A ) -> ( A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) <-> A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ ( |_ ` A ) ) ) )
11 7 10 anbi12d 
 |-  ( x = ( |_ ` A ) -> ( ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) <-> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ ( |_ ` A ) ) ) ) )
12 11 riota2 
 |-  ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ ( |_ ` A ) ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
13 5 6 12 syl2anc 
 |-  ( A e. RR -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ ( |_ ` A ) ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
14 1 4 13 mpbi2and 
 |-  ( A e. RR -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) = ( |_ ` A ) )
15 14 eqcomd 
 |-  ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A. y e. ZZ ( y <_ A -> y <_ x ) ) ) )