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Metamath Proof Explorer

Theorem elnp

Description: Membership in positive reals. (Contributed by NM, 16-Feb-1996) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion elnp 
|- ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y  y e. A ) /\ E. y e. A x

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elex 
 |-  ( A e. P. -> A e. _V )
2 pssss 
 |-  ( A C. Q. -> A C_ Q. )
3 nqex 
 |-  Q. e. _V
4 3 ssex 
 |-  ( A C_ Q. -> A e. _V )
5 2 4 syl 
 |-  ( A C. Q. -> A e. _V )
6 5 ad2antlr 
 |-  ( ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y  y e. A ) /\ E. y e. A x  A e. _V )
7 psseq2 
 |-  ( z = A -> ( (/) C. z <-> (/) C. A ) )
8 psseq1 
 |-  ( z = A -> ( z C. Q. <-> A C. Q. ) )
9 7 8 anbi12d 
 |-  ( z = A -> ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) <-> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) ) )
10 eleq2 
 |-  ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) )
11 10 imbi2d 
 |-  ( z = A -> ( ( y  y e. z ) <-> ( y  y e. A ) ) )
12 11 albidv 
 |-  ( z = A -> ( A. y ( y  y e. z ) <-> A. y ( y  y e. A ) ) )
13 rexeq 
 |-  ( z = A -> ( E. y e. z x  E. y e. A x
14 12 13 anbi12d 
 |-  ( z = A -> ( ( A. y ( y  y e. z ) /\ E. y e. z x  ( A. y ( y  y e. A ) /\ E. y e. A x
15 14 raleqbi1dv 
 |-  ( z = A -> ( A. x e. z ( A. y ( y  y e. z ) /\ E. y e. z x  A. x e. A ( A. y ( y  y e. A ) /\ E. y e. A x
16 9 15 anbi12d 
 |-  ( z = A -> ( ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y  y e. z ) /\ E. y e. z x  ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y  y e. A ) /\ E. y e. A x
17 df-np 
 |-  P. = { z | ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y  y e. z ) /\ E. y e. z x
18 16 17 elab2g 
 |-  ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y  y e. A ) /\ E. y e. A x
19 1 6 18 pm5.21nii 
 |-  ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y  y e. A ) /\ E. y e. A x