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Theorem dm0rn0OLD

Description: Obsolete version of dm0rn0 as of 24-Jan-2026. (Contributed by NM, 21-May-1998) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion dm0rn0OLD 
|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 alnex 
 |-  ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2 excom 
 |-  ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3 1 2 xchbinx 
 |-  ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4 alnex 
 |-  ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5 3 4 bitr4i 
 |-  ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6 noel 
 |-  -. x e. (/)
7 6 nbn 
 |-  ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8 7 albii 
 |-  ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9 noel 
 |-  -. y e. (/)
10 9 nbn 
 |-  ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11 10 albii 
 |-  ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12 5 8 11 3bitr3i 
 |-  ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13 eqabcb 
 |-  ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14 eqabcb 
 |-  ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15 12 13 14 3bitr4i 
 |-  ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16 df-dm 
 |-  dom A = { x | E. y x A y }
17 16 eqeq1i 
 |-  ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18 dfrn2 
 |-  ran A = { y | E. x x A y }
19 18 eqeq1i 
 |-  ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20 15 17 19 3bitr4i 
 |-  ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )