| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
df-tp |
|- { D , E , F } = ( { D , E } u. { F } ) |
| 2 |
1
|
ineq2i |
|- ( { A , B , C } i^i { D , E , F } ) = ( { A , B , C } i^i ( { D , E } u. { F } ) ) |
| 3 |
|
df-tp |
|- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } ) |
| 4 |
3
|
ineq1i |
|- ( { A , B , C } i^i { D , E } ) = ( ( { A , B } u. { C } ) i^i { D , E } ) |
| 5 |
|
3simpa |
|- ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) -> ( A =/= D /\ B =/= D ) ) |
| 6 |
|
3simpa |
|- ( ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) -> ( A =/= E /\ B =/= E ) ) |
| 7 |
|
disjpr2 |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E ) ) -> ( { A , B } i^i { D , E } ) = (/) ) |
| 8 |
5 6 7
|
syl2an |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) ) -> ( { A , B } i^i { D , E } ) = (/) ) |
| 9 |
8
|
3adant3 |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( { A , B } i^i { D , E } ) = (/) ) |
| 10 |
|
incom |
|- ( { C } i^i { D , E } ) = ( { D , E } i^i { C } ) |
| 11 |
|
necom |
|- ( C =/= D <-> D =/= C ) |
| 12 |
11
|
biimpi |
|- ( C =/= D -> D =/= C ) |
| 13 |
12
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) -> D =/= C ) |
| 14 |
|
necom |
|- ( C =/= E <-> E =/= C ) |
| 15 |
14
|
biimpi |
|- ( C =/= E -> E =/= C ) |
| 16 |
15
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) -> E =/= C ) |
| 17 |
|
disjprsn |
|- ( ( D =/= C /\ E =/= C ) -> ( { D , E } i^i { C } ) = (/) ) |
| 18 |
13 16 17
|
syl2an |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) ) -> ( { D , E } i^i { C } ) = (/) ) |
| 19 |
18
|
3adant3 |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( { D , E } i^i { C } ) = (/) ) |
| 20 |
10 19
|
eqtrid |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( { C } i^i { D , E } ) = (/) ) |
| 21 |
9 20
|
jca |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( ( { A , B } i^i { D , E } ) = (/) /\ ( { C } i^i { D , E } ) = (/) ) ) |
| 22 |
|
undisj1 |
|- ( ( ( { A , B } i^i { D , E } ) = (/) /\ ( { C } i^i { D , E } ) = (/) ) <-> ( ( { A , B } u. { C } ) i^i { D , E } ) = (/) ) |
| 23 |
21 22
|
sylib |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( ( { A , B } u. { C } ) i^i { D , E } ) = (/) ) |
| 24 |
4 23
|
eqtrid |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( { A , B , C } i^i { D , E } ) = (/) ) |
| 25 |
|
disjtpsn |
|- ( ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) -> ( { A , B , C } i^i { F } ) = (/) ) |
| 26 |
25
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( { A , B , C } i^i { F } ) = (/) ) |
| 27 |
24 26
|
jca |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( ( { A , B , C } i^i { D , E } ) = (/) /\ ( { A , B , C } i^i { F } ) = (/) ) ) |
| 28 |
|
undisj2 |
|- ( ( ( { A , B , C } i^i { D , E } ) = (/) /\ ( { A , B , C } i^i { F } ) = (/) ) <-> ( { A , B , C } i^i ( { D , E } u. { F } ) ) = (/) ) |
| 29 |
27 28
|
sylib |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( { A , B , C } i^i ( { D , E } u. { F } ) ) = (/) ) |
| 30 |
2 29
|
eqtrid |
|- ( ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) /\ ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) -> ( { A , B , C } i^i { D , E , F } ) = (/) ) |