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Theorem dihord2pre2

Description: Part of proof after Lemma N of Crawley p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 4-Mar-2014)

Ref Expression
Hypotheses dihjust.b 
|- B = ( Base ` K )
dihjust.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihjust.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dihjust.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihjust.a 
|- A = ( Atoms ` K )
dihjust.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihjust.i 
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
dihjust.J 
|- J = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
dihjust.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihjust.s 
|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihord2c.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihord2c.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dihord2c.o 
|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
dihord2.p 
|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
dihord2.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihord2.d 
|- .+ = ( +g ` U )
dihord2.g 
|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = N )
Assertion dihord2pre2 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihjust.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihjust.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihjust.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 dihjust.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 dihjust.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 dihjust.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 dihjust.i 
 |-  I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
8 dihjust.J 
 |-  J = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
9 dihjust.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
10 dihjust.s 
 |-  .(+) = ( LSSum ` U )
11 dihord2c.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
12 dihord2c.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
13 dihord2c.o 
 |-  O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
14 dihord2.p 
 |-  P = ( ( oc ` K ) ` W )
15 dihord2.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
16 dihord2.d 
 |-  .+ = ( +g ` U )
17 dihord2.g 
 |-  G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = N )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dihord2a 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Q .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )
19 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> K e. HL )
20 19 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> K e. Lat )
21 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> X e. B )
22 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> W e. H )
23 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
24 22 23 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> W e. B )
25 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
26 20 21 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
27 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Y e. B )
28 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
29 20 27 24 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
30 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> N e. A )
31 1 5 atbase 
 |-  ( N e. A -> N e. B )
32 30 31 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> N e. B )
33 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ N e. B /\ ( Y ./\ W ) e. B ) -> ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B )
34 20 32 29 33 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B )
35 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) )
36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 dihord2pre 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) )
37 35 36 syld3an3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) )
38 1 2 3 latlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ N e. B /\ ( Y ./\ W ) e. B ) -> ( Y ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )
39 20 32 29 38 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )
40 1 2 20 26 29 34 37 39 lattrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )
41 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Q e. A )
42 1 5 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. B )
43 41 42 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Q e. B )
44 1 2 3 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. B /\ ( X ./\ W ) e. B /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) e. B ) ) -> ( ( Q .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) /\ ( X ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) )
45 20 43 26 34 44 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( ( Q .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) /\ ( X ./\ W ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) ) )
46 18 40 45 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ ( N .\/ ( Y ./\ W ) ) )