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Theorem dihord2pre

Description: Part of proof after Lemma N of Crawley p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014)

Ref Expression
Hypotheses dihjust.b 
|- B = ( Base ` K )
dihjust.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihjust.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dihjust.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihjust.a 
|- A = ( Atoms ` K )
dihjust.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihjust.i 
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
dihjust.J 
|- J = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
dihjust.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihjust.s 
|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihord2c.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dihord2c.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
dihord2c.o 
|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
dihord2.p 
|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
dihord2.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dihord2.d 
|- .+ = ( +g ` U )
dihord2.g 
|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = N )
Assertion dihord2pre 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihjust.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihjust.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihjust.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 dihjust.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 dihjust.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 dihjust.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 dihjust.i 
 |-  I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
8 dihjust.J 
 |-  J = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
9 dihjust.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
10 dihjust.s 
 |-  .(+) = ( LSSum ` U )
11 dihord2c.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
12 dihord2c.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
13 dihord2c.o 
 |-  O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
14 dihord2.p 
 |-  P = ( ( oc ` K ) ` W )
15 dihord2.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
16 dihord2.d 
 |-  .+ = ( +g ` U )
17 dihord2.g 
 |-  G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = N )
18 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) )
19 simpl2l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> X e. B )
20 simpl2r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> Y e. B )
21 simpl3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) )
22 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> f e. T )
23 simprr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) )
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 dihord11c 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) /\ f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> E. y e. ( J ` N ) E. z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <. f , O >. = ( y .+ z ) )
25 18 19 20 21 22 23 24 syl123anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> E. y e. ( J ` N ) E. z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <. f , O >. = ( y .+ z ) )
26 simpl11 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
27 simpl13 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( N e. A /\ -. N .<_ W ) )
28 2 5 6 14 11 15 8 17 dicelval3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) -> ( y e. ( J ` N ) <-> E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. ) )
29 26 27 28 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( y e. ( J ` N ) <-> E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. ) )
30 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> K e. HL )
31 30 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> K e. HL )
32 31 hllatd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> K e. Lat )
33 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> W e. H )
34 33 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> W e. H )
35 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
36 34 35 syl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> W e. B )
37 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
38 32 20 36 37 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
39 1 2 4 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W )
40 32 20 36 39 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W )
41 1 2 6 11 12 13 7 dibelval3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <-> E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
42 26 38 40 41 syl12anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <-> E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
43 29 42 anbi12d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( y e. ( J ` N ) /\ z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. /\ E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) )
44 reeanv 
 |-  ( E. s e. E E. g e. T ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. /\ E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
45 simpll1 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) )
46 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) )
47 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) )
48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 dihord10 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) )
49 45 46 47 48 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) /\ ( ( s e. E /\ g e. T ) /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) /\ <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) )
50 49 3exp2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( s e. E /\ g e. T ) -> ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) )
51 oveq12 
 |-  ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( y .+ z ) = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) )
52 51 eqeq2d 
 |-  ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) <-> <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) )
53 52 imbi1d 
 |-  ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) <-> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
54 53 imbi2d 
 |-  ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) <-> ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) )
55 54 biimprd 
 |-  ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) )
56 55 com23 
 |-  ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ z = <. g , O >. ) -> ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) )
57 56 impr 
 |-  ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
58 57 com12 
 |-  ( ( ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) -> ( <. f , O >. = ( <. ( s ` G ) , s >. .+ <. g , O >. ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
59 50 58 syl6 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( s e. E /\ g e. T ) -> ( ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) ) )
60 59 rexlimdvv 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( E. s e. E E. g e. T ( y = <. ( s ` G ) , s >. /\ ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
61 44 60 biimtrrid 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( E. s e. E y = <. ( s ` G ) , s >. /\ E. g e. T ( z = <. g , O >. /\ ( R ` g ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
62 43 61 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( ( y e. ( J ` N ) /\ z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) -> ( <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
63 62 rexlimdvv 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( E. y e. ( J ` N ) E. z e. ( I ` ( Y ./\ W ) ) <. f , O >. = ( y .+ z ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) )
64 25 63 mpd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) /\ ( f e. T /\ ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) ) ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) )
65 64 exp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( f e. T -> ( ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
66 65 ralrimiv 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) )
67 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
68 30 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> K e. Lat )
69 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> X e. B )
70 33 35 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> W e. B )
71 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
72 68 69 70 71 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
73 1 2 4 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) .<_ W )
74 68 69 70 73 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ W )
75 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> Y e. B )
76 68 75 70 37 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
77 68 75 70 39 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W )
78 1 2 5 6 11 12 trlord 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X ./\ W ) e. B /\ ( X ./\ W ) .<_ W ) /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) <-> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
79 67 72 74 76 77 78 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) <-> A. f e. T ( ( R ` f ) .<_ ( X ./\ W ) -> ( R ` f ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) )
80 66 79 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` N ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) )