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Theorem dihmeetlem7N

Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 6-Apr-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihmeetlem7.b 
|- B = ( Base ` K )
dihmeetlem7.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihmeetlem7.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dihmeetlem7.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihmeetlem7.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion dihmeetlem7N 
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ./\ Y ) = ( X ./\ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihmeetlem7.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihmeetlem7.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihmeetlem7.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 dihmeetlem7.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 dihmeetlem7.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 simprr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> -. p .<_ Y )
7 simpl1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> K e. HL )
8 hlatl 
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
9 7 8 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> K e. AtLat )
10 simprl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> p e. A )
11 simpl3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> Y e. B )
12 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
13 1 2 4 12 5 atnle 
 |-  ( ( K e. AtLat /\ p e. A /\ Y e. B ) -> ( -. p .<_ Y <-> ( p ./\ Y ) = ( 0. ` K ) ) )
14 9 10 11 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( -. p .<_ Y <-> ( p ./\ Y ) = ( 0. ` K ) ) )
15 6 14 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( p ./\ Y ) = ( 0. ` K ) )
16 15 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( p ./\ Y ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ ( 0. ` K ) ) )
17 7 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> K e. Lat )
18 simpl2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> X e. B )
19 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
20 17 18 11 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
21 1 2 4 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) .<_ Y )
22 17 18 11 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ Y )
23 1 2 3 4 5 atmod1i2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( p e. A /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ Y ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( p ./\ Y ) ) = ( ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ./\ Y ) )
24 7 10 20 11 22 23 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( p ./\ Y ) ) = ( ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ./\ Y ) )
25 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
26 7 25 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> K e. OL )
27 1 3 12 olj01 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X ./\ Y ) e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( 0. ` K ) ) = ( X ./\ Y ) )
28 26 20 27 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( ( X ./\ Y ) .\/ ( 0. ` K ) ) = ( X ./\ Y ) )
29 16 24 28 3eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ Y ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ./\ Y ) = ( X ./\ Y ) )