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Theorem dihmeetcN

Description: Isomorphism H of a lattice meet when the meet is not under the fiducial hyperplane W . (Contributed by NM, 26-Mar-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihmeetc.b 
|- B = ( Base ` K )
dihmeetc.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihmeetc.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihmeetc.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihmeetc.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
Assertion dihmeetcN 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihmeetc.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihmeetc.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihmeetc.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 dihmeetc.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 dihmeetc.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
6 eqid 
 |-  ( glb ` K ) = ( glb ` K )
7 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> K e. HL )
8 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> X e. B )
9 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> Y e. B )
10 6 3 7 8 9 meetval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( X ./\ Y ) = ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) )
11 10 fveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( I ` ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) ) )
12 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 prssi 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> { X , Y } C_ B )
14 13 3ad2ant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> { X , Y } C_ B )
15 prnzg 
 |-  ( X e. B -> { X , Y } =/= (/) )
16 8 15 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> { X , Y } =/= (/) )
17 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> -. ( X ./\ Y ) .<_ W )
18 10 breq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ W <-> ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) .<_ W ) )
19 17 18 mtbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> -. ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) .<_ W )
20 1 6 4 5 2 dihglbcN 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( { X , Y } C_ B /\ { X , Y } =/= (/) ) /\ -. ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) .<_ W ) -> ( I ` ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) ) = |^|_ x e. { X , Y } ( I ` x ) )
21 12 14 16 19 20 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( ( glb ` K ) ` { X , Y } ) ) = |^|_ x e. { X , Y } ( I ` x ) )
22 fveq2 
 |-  ( x = X -> ( I ` x ) = ( I ` X ) )
23 fveq2 
 |-  ( x = Y -> ( I ` x ) = ( I ` Y ) )
24 22 23 iinxprg 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> |^|_ x e. { X , Y } ( I ` x ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
25 24 3ad2ant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> |^|_ x e. { X , Y } ( I ` x ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
26 11 21 25 3eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )