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Theorem dihmeetALTN

Description: Isomorphism H of a lattice meet. This version does not depend on the atomisticity of the constructed vector space. TODO: Delete? (Contributed by NM, 7-Apr-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihmeetALT.b 
|- B = ( Base ` K )
dihmeetALT.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihmeetALT.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihmeetALT.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
Assertion dihmeetALTN 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihmeetALT.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihmeetALT.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
3 dihmeetALT.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 dihmeetALT.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
5 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> K e. HL )
6 5 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> K e. Lat )
7 simpl2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> X e. B )
8 simpl3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> Y e. B )
9 1 2 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )
10 6 7 8 9 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )
11 10 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( I ` ( Y ./\ X ) ) )
12 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> X ( le ` K ) W )
14 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
15 1 14 2 3 4 dihmeetbN 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B /\ ( X e. B /\ X ( le ` K ) W ) ) -> ( I ` ( Y ./\ X ) ) = ( ( I ` Y ) i^i ( I ` X ) ) )
16 12 8 7 13 15 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( Y ./\ X ) ) = ( ( I ` Y ) i^i ( I ` X ) ) )
17 incom 
 |-  ( ( I ` Y ) i^i ( I ` X ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) )
18 16 17 eqtrdi 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( Y ./\ X ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
19 11 18 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
20 simpll1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ Y ( le ` K ) W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
21 simpll2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ Y ( le ` K ) W ) -> X e. B )
22 simpll3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ Y ( le ` K ) W ) -> Y e. B )
23 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ Y ( le ` K ) W ) -> Y ( le ` K ) W )
24 1 14 2 3 4 dihmeetbN 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ ( Y e. B /\ Y ( le ` K ) W ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
25 20 21 22 23 24 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ Y ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
26 25 adantlr 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) /\ Y ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
27 simp1l1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
28 simp1l2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> X e. B )
29 simp1r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> -. X ( le ` K ) W )
30 simp1l3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> Y e. B )
31 simp3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> -. Y ( le ` K ) W )
32 30 31 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> ( Y e. B /\ -. Y ( le ` K ) W ) )
33 simp2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W )
34 eqid 
 |-  ( join ` K ) = ( join ` K )
35 eqid 
 |-  ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
36 eqid 
 |-  ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
37 eqid 
 |-  ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
38 1 14 3 34 2 35 36 37 4 dihmeetlem20N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
39 27 28 29 32 33 38 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
40 39 3expa 
 |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) /\ -. Y ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
41 26 40 pm2.61dan 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
42 simpll1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ -. ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
43 simpll2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ -. ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) -> X e. B )
44 simpll3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ -. ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) -> Y e. B )
45 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ -. ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) -> -. ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W )
46 1 14 2 3 4 dihmeetcN 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ -. ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
47 42 43 44 45 46 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) /\ -. ( X ./\ Y ) ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
48 41 47 pm2.61dan 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. X ( le ` K ) W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
49 19 48 pm2.61dan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )