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Theorem difmapsn

Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021)

Ref Expression
Hypotheses difmapsn.a 
|- ( ph -> A e. V )
difmapsn.b 
|- ( ph -> B e. W )
difmapsn.v 
|- ( ph -> C e. Z )
Assertion difmapsn 
|- ( ph -> ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) = ( ( A \ B ) ^m { C } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 difmapsn.a 
 |-  ( ph -> A e. V )
2 difmapsn.b 
 |-  ( ph -> B e. W )
3 difmapsn.v 
 |-  ( ph -> C e. Z )
4 eldifi 
 |-  ( f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) -> f e. ( A ^m { C } ) )
5 4 adantl 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> f e. ( A ^m { C } ) )
6 elmapi 
 |-  ( f e. ( A ^m { C } ) -> f : { C } --> A )
7 6 adantl 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> f : { C } --> A )
8 fsn2g 
 |-  ( C e. Z -> ( f : { C } --> A <-> ( ( f ` C ) e. A /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
9 3 8 syl 
 |-  ( ph -> ( f : { C } --> A <-> ( ( f ` C ) e. A /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
10 9 adantr 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> ( f : { C } --> A <-> ( ( f ` C ) e. A /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
11 7 10 mpbid 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> ( ( f ` C ) e. A /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) )
12 11 simpld 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> ( f ` C ) e. A )
13 5 12 syldan 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( f ` C ) e. A )
14 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> ( f ` C ) e. B )
15 11 simprd 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( A ^m { C } ) ) -> f = { <. C , ( f ` C ) >. } )
16 5 15 syldan 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> f = { <. C , ( f ` C ) >. } )
17 16 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> f = { <. C , ( f ` C ) >. } )
18 14 17 jca 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> ( ( f ` C ) e. B /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) )
19 fsn2g 
 |-  ( C e. Z -> ( f : { C } --> B <-> ( ( f ` C ) e. B /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
20 3 19 syl 
 |-  ( ph -> ( f : { C } --> B <-> ( ( f ` C ) e. B /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
21 20 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> ( f : { C } --> B <-> ( ( f ` C ) e. B /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
22 18 21 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> f : { C } --> B )
23 2 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> B e. W )
24 snex 
 |-  { C } e. _V
25 24 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> { C } e. _V )
26 23 25 elmapd 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> ( f e. ( B ^m { C } ) <-> f : { C } --> B ) )
27 22 26 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> f e. ( B ^m { C } ) )
28 eldifn 
 |-  ( f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) -> -. f e. ( B ^m { C } ) )
29 28 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) /\ ( f ` C ) e. B ) -> -. f e. ( B ^m { C } ) )
30 27 29 pm2.65da 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> -. ( f ` C ) e. B )
31 13 30 eldifd 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( f ` C ) e. ( A \ B ) )
32 31 16 jca 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( ( f ` C ) e. ( A \ B ) /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) )
33 fsn2g 
 |-  ( C e. Z -> ( f : { C } --> ( A \ B ) <-> ( ( f ` C ) e. ( A \ B ) /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
34 3 33 syl 
 |-  ( ph -> ( f : { C } --> ( A \ B ) <-> ( ( f ` C ) e. ( A \ B ) /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
35 34 adantr 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( f : { C } --> ( A \ B ) <-> ( ( f ` C ) e. ( A \ B ) /\ f = { <. C , ( f ` C ) >. } ) ) )
36 32 35 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> f : { C } --> ( A \ B ) )
37 difssd 
 |-  ( ph -> ( A \ B ) C_ A )
38 1 37 ssexd 
 |-  ( ph -> ( A \ B ) e. _V )
39 24 a1i 
 |-  ( ph -> { C } e. _V )
40 38 39 elmapd 
 |-  ( ph -> ( f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) <-> f : { C } --> ( A \ B ) ) )
41 40 adantr 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> ( f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) <-> f : { C } --> ( A \ B ) ) )
42 36 41 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) ) -> f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
43 42 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
44 dfss3 
 |-  ( ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) C_ ( ( A \ B ) ^m { C } ) <-> A. f e. ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) f e. ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
45 43 44 sylibr 
 |-  ( ph -> ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) C_ ( ( A \ B ) ^m { C } ) )
46 3 snn0d 
 |-  ( ph -> { C } =/= (/) )
47 1 2 39 46 difmap 
 |-  ( ph -> ( ( A \ B ) ^m { C } ) C_ ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) )
48 45 47 eqssd 
 |-  ( ph -> ( ( A ^m { C } ) \ ( B ^m { C } ) ) = ( ( A \ B ) ^m { C } ) )