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Theorem dftr5

Description: An alternate way of defining a transitive class. Definition 1.1 of Schloeder p. 1. (Contributed by NM, 20-Mar-2004) Avoid ax-11 . (Revised by BTernaryTau, 28-Dec-2024)

		Ref	Expression
	Assertion	dftr5	\|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impexp	\|- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
2	1	albii	\|- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
3		df-ral	\|- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
4		r19.21v	\|- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
5	2 3 4	3bitr2i	\|- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
6	5	albii	\|- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
7		dftr2c	\|- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
8		df-ral	\|- ( A. x e. A A. y e. x y e. A <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
9	6 7 8	3bitr4i	\|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )