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Theorem dftr2

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of TakeutiZaring p. 40. Using dftr2c instead may avoid dependences on ax-11 . (Contributed by NM, 24-Apr-1994)

Ref Expression
Assertion dftr2 
|- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-ss 
 |-  ( U. A C_ A <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
2 df-tr 
 |-  ( Tr A <-> U. A C_ A )
3 19.23v 
 |-  ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
4 eluni 
 |-  ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
5 4 imbi1i 
 |-  ( ( x e. U. A -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
6 3 5 bitr4i 
 |-  ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( x e. U. A -> x e. A ) )
7 6 albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
8 1 2 7 3bitr4i 
 |-  ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )