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Theorem chrelat2

Description: A consequence of relative atomicity. (Contributed by NM, 1-Jul-2004) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion chrelat2 
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( -. A C_ B <-> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ -. x C_ B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sseq1 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( A C_ B <-> if ( A e. CH , A , ~H ) C_ B ) )
2 1 notbid 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( -. A C_ B <-> -. if ( A e. CH , A , ~H ) C_ B ) )
3 sseq2 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( x C_ A <-> x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) ) )
4 3 anbi1d 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( ( x C_ A /\ -. x C_ B ) <-> ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ B ) ) )
5 4 rexbidv 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ -. x C_ B ) <-> E. x e. HAtoms ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ B ) ) )
6 2 5 bibi12d 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( ( -. A C_ B <-> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ -. x C_ B ) ) <-> ( -. if ( A e. CH , A , ~H ) C_ B <-> E. x e. HAtoms ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ B ) ) ) )
7 sseq2 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( if ( A e. CH , A , ~H ) C_ B <-> if ( A e. CH , A , ~H ) C_ if ( B e. CH , B , ~H ) ) )
8 7 notbid 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( -. if ( A e. CH , A , ~H ) C_ B <-> -. if ( A e. CH , A , ~H ) C_ if ( B e. CH , B , ~H ) ) )
9 sseq2 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( x C_ B <-> x C_ if ( B e. CH , B , ~H ) ) )
10 9 notbid 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( -. x C_ B <-> -. x C_ if ( B e. CH , B , ~H ) ) )
11 10 anbi2d 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ B ) <-> ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) )
12 11 rexbidv 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( E. x e. HAtoms ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ B ) <-> E. x e. HAtoms ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) )
13 8 12 bibi12d 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( ( -. if ( A e. CH , A , ~H ) C_ B <-> E. x e. HAtoms ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ B ) ) <-> ( -. if ( A e. CH , A , ~H ) C_ if ( B e. CH , B , ~H ) <-> E. x e. HAtoms ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) ) )
14 ifchhv 
 |-  if ( A e. CH , A , ~H ) e. CH
15 ifchhv 
 |-  if ( B e. CH , B , ~H ) e. CH
16 14 15 chrelat2i 
 |-  ( -. if ( A e. CH , A , ~H ) C_ if ( B e. CH , B , ~H ) <-> E. x e. HAtoms ( x C_ if ( A e. CH , A , ~H ) /\ -. x C_ if ( B e. CH , B , ~H ) ) )
17 6 13 16 dedth2h 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( -. A C_ B <-> E. x e. HAtoms ( x C_ A /\ -. x C_ B ) ) )