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Theorem cfilss

Description: A filter finer than a Cauchy filter is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015)

		Ref	Expression
	Assertion	cfilss	\|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> G e. ( CauFil ` D ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl	\|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> G e. ( Fil ` X ) )
2		simprr	\|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> F C_ G )
3		iscfil	\|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
4	3	simplbda	\|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) )
5	4	adantr	\|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) )
6		ssrexv	\|- ( F C_ G -> ( E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) -> E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
7	6	ralimdv	\|- ( F C_ G -> ( A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) -> A. x e. RR+ E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
8	2 5 7	sylc	\|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) )
9		iscfil	\|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( G e. ( CauFil ` D ) <-> ( G e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
10	9	ad2antrr	\|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> ( G e. ( CauFil ` D ) <-> ( G e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
11	1 8 10	mpbir2and	\|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> G e. ( CauFil ` D ) )