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Theorem cdlemn8

Description: Part of proof of Lemma N of Crawley p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014)

Ref Expression
Hypotheses cdlemn8.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemn8.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn8.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn8.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn8.p 
|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn8.o 
|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn8.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn8.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
cdlemn8.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn8.s 
|- .+ = ( +g ` U )
cdlemn8.f 
|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
cdlemn8.g 
|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
Assertion cdlemn8 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g = ( G o. `' F ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemn8.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemn8.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemn8.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 cdlemn8.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 cdlemn8.p 
 |-  P = ( ( oc ` K ) ` W )
6 cdlemn8.o 
 |-  O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
7 cdlemn8.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemn8.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
9 cdlemn8.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
10 cdlemn8.s 
 |-  .+ = ( +g ` U )
11 cdlemn8.f 
 |-  F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
12 cdlemn8.g 
 |-  G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
13 coass 
 |-  ( ( `' F o. F ) o. g ) = ( `' F o. ( F o. g ) )
14 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15 2 3 4 5 lhpocnel2 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
16 15 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
17 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
18 2 3 4 7 11 ltrniotacl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. T )
19 14 16 17 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> F e. T )
20 1 4 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
21 14 19 20 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
22 f1ococnv1 
 |-  ( F : B -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
23 21 22 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
24 23 coeq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( `' F o. F ) o. g ) = ( ( _I |` B ) o. g ) )
25 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g e. T )
26 1 4 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ g e. T ) -> g : B -1-1-onto-> B )
27 14 25 26 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g : B -1-1-onto-> B )
28 f1of 
 |-  ( g : B -1-1-onto-> B -> g : B --> B )
29 fcoi2 
 |-  ( g : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. g ) = g )
30 27 28 29 3syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( _I |` B ) o. g ) = g )
31 24 30 eqtr2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g = ( ( `' F o. F ) o. g ) )
32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cdlemn7 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )
33 32 simpld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> G = ( ( s ` F ) o. g ) )
34 32 simprd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( _I |` T ) = s )
35 34 fveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( _I |` T ) ` F ) = ( s ` F ) )
36 fvresi 
 |-  ( F e. T -> ( ( _I |` T ) ` F ) = F )
37 19 36 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( _I |` T ) ` F ) = F )
38 35 37 eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( s ` F ) = F )
39 38 coeq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( s ` F ) o. g ) = ( F o. g ) )
40 33 39 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> G = ( F o. g ) )
41 40 coeq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( `' F o. G ) = ( `' F o. ( F o. g ) ) )
42 13 31 41 3eqtr4a 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g = ( `' F o. G ) )
43 4 7 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
44 14 19 43 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> `' F e. T )
45 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
46 2 3 4 7 12 ltrniotacl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> G e. T )
47 14 16 45 46 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> G e. T )
48 4 7 ltrncom 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ `' F e. T /\ G e. T ) -> ( `' F o. G ) = ( G o. `' F ) )
49 14 44 47 48 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( `' F o. G ) = ( G o. `' F ) )
50 42 49 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g = ( G o. `' F ) )