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Theorem bj-cbveximt

Description: A lemma in closed form used to prove bj-cbvex in a weak axiomatization. (Contributed by BJ, 12-Mar-2023) Do not use 19.35 since only the direction of the biconditional used here holds in intuitionistic logic. (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Assertion bj-cbveximt 
|- ( A. x E. y ch -> ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bj-exalim 
 |-  ( A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( E. y ch -> ( A. y ph -> E. y ps ) ) )
2 1 alimi 
 |-  ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( E. y ch -> ( A. y ph -> E. y ps ) ) )
3 bj-alexim 
 |-  ( A. x ( E. y ch -> ( A. y ph -> E. y ps ) ) -> ( A. x E. y ch -> ( E. x A. y ph -> E. x E. y ps ) ) )
4 2 3 syl 
 |-  ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x E. y ch -> ( E. x A. y ph -> E. x E. y ps ) ) )
5 exim 
 |-  ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( E. x ph -> E. x A. y ph ) )
6 imim2 
 |-  ( ( E. x A. y ph -> E. x E. y ps ) -> ( ( E. x ph -> E. x A. y ph ) -> ( E. x ph -> E. x E. y ps ) ) )
7 imim1 
 |-  ( ( E. x ph -> E. x E. y ps ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) )
8 5 6 7 syl56 
 |-  ( ( E. x A. y ph -> E. x E. y ps ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) )
9 4 8 syl6com 
 |-  ( A. x E. y ch -> ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) ) )