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Theorem bj-cbvalimt

Description: A lemma in closed form used to prove bj-cbval in a weak axiomatization. (Contributed by BJ, 12-Mar-2023) Do not use 19.35 since only the direction of the biconditional used here holds in intuitionistic logic. (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Assertion bj-cbvalimt 
|- ( A. y E. x ch -> ( A. y A. x ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 exim 
 |-  ( A. x ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( E. x ch -> E. x ( ph -> ps ) ) )
2 1 al2imi 
 |-  ( A. y A. x ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. y E. x ch -> A. y E. x ( ph -> ps ) ) )
3 pm2.27 
 |-  ( ph -> ( ( ph -> ps ) -> ps ) )
4 3 aleximi 
 |-  ( A. x ph -> ( E. x ( ph -> ps ) -> E. x ps ) )
5 4 com12 
 |-  ( E. x ( ph -> ps ) -> ( A. x ph -> E. x ps ) )
6 5 alimi 
 |-  ( A. y E. x ( ph -> ps ) -> A. y ( A. x ph -> E. x ps ) )
7 alim 
 |-  ( A. y ( A. x ph -> E. x ps ) -> ( A. y A. x ph -> A. y E. x ps ) )
8 alim 
 |-  ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. y E. x ps -> A. y ps ) )
9 imim1 
 |-  ( ( A. y A. x ph -> A. y E. x ps ) -> ( ( A. y E. x ps -> A. y ps ) -> ( A. y A. x ph -> A. y ps ) ) )
10 imim2 
 |-  ( ( A. y A. x ph -> A. y ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) )
11 8 9 10 syl56 
 |-  ( ( A. y A. x ph -> A. y E. x ps ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) )
12 11 com23 
 |-  ( ( A. y A. x ph -> A. y E. x ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) )
13 6 7 12 3syl 
 |-  ( A. y E. x ( ph -> ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) )
14 2 13 syl6com 
 |-  ( A. y E. x ch -> ( A. y A. x ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. y ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) ) ) )