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Theorem axrep3

Description: Axiom of Replacement slightly strengthened from axrep2 ; w may occur free in ph . (Contributed by NM, 2-Jan-1997) Remove dependency on ax-13 . (Revised by BJ, 31-May-2019)

Ref Expression
Assertion axrep3 
|- E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfe1 
 |-  F/ y E. y A. z ( ph -> z = y )
2 nfv 
 |-  F/ y z e. x
3 nfv 
 |-  F/ y x e. w
4 nfa1 
 |-  F/ y A. y ph
5 3 4 nfan 
 |-  F/ y ( x e. w /\ A. y ph )
6 5 nfex 
 |-  F/ y E. x ( x e. w /\ A. y ph )
7 2 6 nfbi 
 |-  F/ y ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) )
8 7 nfal 
 |-  F/ y A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) )
9 1 8 nfim 
 |-  F/ y ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )
10 9 nfex 
 |-  F/ y E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )
11 axreplem 
 |-  ( y = w -> ( E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) ) <-> E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) ) ) )
12 axrep2 
 |-  E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ A. y ph ) ) )
13 10 11 12 chvarfv 
 |-  E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) )