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Theorem axcc4dom

Description: Relax the constraint on axcc4 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014)

Ref Expression
Hypotheses axcc4dom.1 
|- A e. _V
axcc4dom.2 
|- ( x = ( f ` n ) -> ( ph <-> ps ) )
Assertion axcc4dom 
|- ( ( N ~<_ _om /\ A. n e. N E. x e. A ph ) -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axcc4dom.1 
 |-  A e. _V
2 axcc4dom.2 
 |-  ( x = ( f ` n ) -> ( ph <-> ps ) )
3 brdom2 
 |-  ( N ~<_ _om <-> ( N ~< _om \/ N ~~ _om ) )
4 isfinite 
 |-  ( N e. Fin <-> N ~< _om )
5 2 ac6sfi 
 |-  ( ( N e. Fin /\ A. n e. N E. x e. A ph ) -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) )
6 5 ex 
 |-  ( N e. Fin -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
7 4 6 sylbir 
 |-  ( N ~< _om -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
8 raleq 
 |-  ( N = if ( N ~~ _om , N , _om ) -> ( A. n e. N E. x e. A ph <-> A. n e. if ( N ~~ _om , N , _om ) E. x e. A ph ) )
9 feq2 
 |-  ( N = if ( N ~~ _om , N , _om ) -> ( f : N --> A <-> f : if ( N ~~ _om , N , _om ) --> A ) )
10 raleq 
 |-  ( N = if ( N ~~ _om , N , _om ) -> ( A. n e. N ps <-> A. n e. if ( N ~~ _om , N , _om ) ps ) )
11 9 10 anbi12d 
 |-  ( N = if ( N ~~ _om , N , _om ) -> ( ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) <-> ( f : if ( N ~~ _om , N , _om ) --> A /\ A. n e. if ( N ~~ _om , N , _om ) ps ) ) )
12 11 exbidv 
 |-  ( N = if ( N ~~ _om , N , _om ) -> ( E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) <-> E. f ( f : if ( N ~~ _om , N , _om ) --> A /\ A. n e. if ( N ~~ _om , N , _om ) ps ) ) )
13 8 12 imbi12d 
 |-  ( N = if ( N ~~ _om , N , _om ) -> ( ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) <-> ( A. n e. if ( N ~~ _om , N , _om ) E. x e. A ph -> E. f ( f : if ( N ~~ _om , N , _om ) --> A /\ A. n e. if ( N ~~ _om , N , _om ) ps ) ) ) )
14 breq1 
 |-  ( N = if ( N ~~ _om , N , _om ) -> ( N ~~ _om <-> if ( N ~~ _om , N , _om ) ~~ _om ) )
15 breq1 
 |-  ( _om = if ( N ~~ _om , N , _om ) -> ( _om ~~ _om <-> if ( N ~~ _om , N , _om ) ~~ _om ) )
16 omex 
 |-  _om e. _V
17 16 enref 
 |-  _om ~~ _om
18 14 15 17 elimhyp 
 |-  if ( N ~~ _om , N , _om ) ~~ _om
19 1 18 2 axcc4 
 |-  ( A. n e. if ( N ~~ _om , N , _om ) E. x e. A ph -> E. f ( f : if ( N ~~ _om , N , _om ) --> A /\ A. n e. if ( N ~~ _om , N , _om ) ps ) )
20 13 19 dedth 
 |-  ( N ~~ _om -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
21 7 20 jaoi 
 |-  ( ( N ~< _om \/ N ~~ _om ) -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
22 3 21 sylbi 
 |-  ( N ~<_ _om -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
23 22 imp 
 |-  ( ( N ~<_ _om /\ A. n e. N E. x e. A ph ) -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) )