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Theorem axacndlem2

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . (Contributed by NM, 3-Jan-2002) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion axacndlem2 
|- ( A. x x = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfae 
 |-  F/ y A. x x = z
2 nfae 
 |-  F/ z A. x x = z
3 simpr 
 |-  ( ( y e. z /\ z e. w ) -> z e. w )
4 3 alimi 
 |-  ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> A. x z e. w )
5 nd1 
 |-  ( A. x x = z -> -. A. x z e. w )
6 5 pm2.21d 
 |-  ( A. x x = z -> ( A. x z e. w -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
7 4 6 syl5 
 |-  ( A. x x = z -> ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
8 2 7 alrimi 
 |-  ( A. x x = z -> A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
9 1 8 alrimi 
 |-  ( A. x x = z -> A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
10 9 19.8ad 
 |-  ( A. x x = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )