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Theorem axacndlem3

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . (Contributed by NM, 3-Jan-2002) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion axacndlem3 
|- ( A. y y = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfae 
 |-  F/ z A. y y = z
2 simpl 
 |-  ( ( y e. z /\ z e. w ) -> y e. z )
3 2 alimi 
 |-  ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> A. x y e. z )
4 nd3 
 |-  ( A. y y = z -> -. A. x y e. z )
5 4 pm2.21d 
 |-  ( A. y y = z -> ( A. x y e. z -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
6 3 5 syl5 
 |-  ( A. y y = z -> ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
7 1 6 alrimi 
 |-  ( A. y y = z -> A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
8 7 axc4i 
 |-  ( A. y y = z -> A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
9 8 19.8ad 
 |-  ( A. y y = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )