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Theorem absimlere

Description: The absolute value of the imaginary part of a complex number is a lower bound of the distance to any real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022)

Ref Expression
Hypotheses absimlere.1 
|- ( ph -> A e. CC )
absimlere.2 
|- ( ph -> B e. RR )
Assertion absimlere 
|- ( ph -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 absimlere.1 
 |-  ( ph -> A e. CC )
2 absimlere.2 
 |-  ( ph -> B e. RR )
3 2 recnd 
 |-  ( ph -> B e. CC )
4 1 3 subcld 
 |-  ( ph -> ( A - B ) e. CC )
5 absimle 
 |-  ( ( A - B ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( A - B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
6 4 5 syl 
 |-  ( ph -> ( abs ` ( Im ` ( A - B ) ) ) <_ ( abs ` ( A - B ) ) )
7 1 3 imsubd 
 |-  ( ph -> ( Im ` ( A - B ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) )
8 2 reim0d 
 |-  ( ph -> ( Im ` B ) = 0 )
9 8 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( ( Im ` A ) - ( Im ` B ) ) = ( ( Im ` A ) - 0 ) )
10 1 imcld 
 |-  ( ph -> ( Im ` A ) e. RR )
11 10 recnd 
 |-  ( ph -> ( Im ` A ) e. CC )
12 11 subid1d 
 |-  ( ph -> ( ( Im ` A ) - 0 ) = ( Im ` A ) )
13 7 9 12 3eqtrrd 
 |-  ( ph -> ( Im ` A ) = ( Im ` ( A - B ) ) )
14 13 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( abs ` ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( Im ` ( A - B ) ) ) )
15 3 1 abssubd 
 |-  ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( abs ` ( A - B ) ) )
16 6 14 15 3brtr4d 
 |-  ( ph -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )