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Theorem abnex

Description: Sufficient condition for a class abstraction to be a proper class. Lemma for snnex and pwnex . See the comment of abnexg . (Contributed by BJ, 2-May-2021)

		Ref	Expression
	Assertion	abnex	\|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y \| E. x y = F } e. _V )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc	\|- -. _V e. _V
2		alral	\|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) )
3		rexv	\|- ( E. x e. _V y = F <-> E. x y = F )
4	3	bicomi	\|- ( E. x y = F <-> E. x e. _V y = F )
5	4	abbii	\|- { y \| E. x y = F } = { y \| E. x e. _V y = F }
6	5	eleq1i	\|- ( { y \| E. x y = F } e. _V <-> { y \| E. x e. _V y = F } e. _V )
7	6	biimpi	\|- ( { y \| E. x y = F } e. _V -> { y \| E. x e. _V y = F } e. _V )
8		abnexg	\|- ( A. x e. _V ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y \| E. x e. _V y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
9	2 7 8	syl2im	\|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> ( { y \| E. x y = F } e. _V -> _V e. _V ) )
10	1 9	mtoi	\|- ( A. x ( F e. V /\ x e. F ) -> -. { y \| E. x y = F } e. _V )