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Theorem ablinvadd

Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014)

Ref Expression
Hypotheses ablinvadd.b 
|- B = ( Base ` G )
ablinvadd.p 
|- .+ = ( +g ` G )
ablinvadd.n 
|- N = ( invg ` G )
Assertion ablinvadd 
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ablinvadd.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 ablinvadd.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 ablinvadd.n 
 |-  N = ( invg ` G )
4 ablgrp 
 |-  ( G e. Abel -> G e. Grp )
5 1 2 3 grpinvadd 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
6 4 5 syl3an1 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
7 simp1 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Abel )
8 4 3ad2ant1 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
9 simp2 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10 1 3 grpinvcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
11 8 9 10 syl2anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
12 simp3 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
13 1 3 grpinvcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
14 8 12 13 syl2anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
15 1 2 ablcom 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( N ` X ) e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
16 7 11 14 15 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )
17 6 16 eqtr4d 
 |-  ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) )