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Theorem aaan

Description: Distribute universal quantifiers. (Contributed by NM, 12-Aug-1993) Avoid ax-10 . (Revised by GG, 21-Nov-2024)

Ref Expression
Hypotheses aaan.1 
|- F/ y ph
aaan.2 
|- F/ x ps
Assertion aaan 
|- ( A. x A. y ( ph /\ ps ) <-> ( A. x ph /\ A. y ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 aaan.1 
 |-  F/ y ph
2 aaan.2 
 |-  F/ x ps
3 19.26-2 
 |-  ( A. x A. y ( ph /\ ps ) <-> ( A. x A. y ph /\ A. x A. y ps ) )
4 1 19.3 
 |-  ( A. y ph <-> ph )
5 4 albii 
 |-  ( A. x A. y ph <-> A. x ph )
6 alcom 
 |-  ( A. x A. y ps <-> A. y A. x ps )
7 2 19.3 
 |-  ( A. x ps <-> ps )
8 7 albii 
 |-  ( A. y A. x ps <-> A. y ps )
9 6 8 bitri 
 |-  ( A. x A. y ps <-> A. y ps )
10 5 9 anbi12i 
 |-  ( ( A. x A. y ph /\ A. x A. y ps ) <-> ( A. x ph /\ A. y ps ) )
11 3 10 bitri 
 |-  ( A. x A. y ( ph /\ ps ) <-> ( A. x ph /\ A. y ps ) )