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Theorem 2mo2

Description: Two ways of expressing "there exists at most one ordered pair <. x , y >. such that ph ( x , y ) holds. Note that this is not equivalent to E* x E* y ph . See also 2mo . This is the analogue of 2eu4 for existential uniqueness. (Contributed by Wolf Lammen, 26-Oct-2019) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Wolf Lammen, 3-Jan-2023)

Ref Expression
Assertion 2mo2 
|- ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) <-> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 exdistrv 
 |-  ( E. z E. w ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) <-> ( E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
2 jcab 
 |-  ( ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) )
3 2 2albii 
 |-  ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x A. y ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) )
4 19.26-2 
 |-  ( A. x A. y ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
5 19.23v 
 |-  ( A. y ( ph -> x = z ) <-> ( E. y ph -> x = z ) )
6 5 albii 
 |-  ( A. x A. y ( ph -> x = z ) <-> A. x ( E. y ph -> x = z ) )
7 alcom 
 |-  ( A. x A. y ( ph -> y = w ) <-> A. y A. x ( ph -> y = w ) )
8 19.23v 
 |-  ( A. x ( ph -> y = w ) <-> ( E. x ph -> y = w ) )
9 8 albii 
 |-  ( A. y A. x ( ph -> y = w ) <-> A. y ( E. x ph -> y = w ) )
10 7 9 bitri 
 |-  ( A. x A. y ( ph -> y = w ) <-> A. y ( E. x ph -> y = w ) )
11 6 10 anbi12i 
 |-  ( ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
12 3 4 11 3bitri 
 |-  ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
13 12 2exbii 
 |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> E. z E. w ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
14 df-mo 
 |-  ( E* x E. y ph <-> E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) )
15 df-mo 
 |-  ( E* y E. x ph <-> E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) )
16 14 15 anbi12i 
 |-  ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) <-> ( E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
17 1 13 16 3bitr4ri 
 |-  ( ( E* x E. y ph /\ E* y E. x ph ) <-> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )